ミッション・ポッシブル：子どもを健康保険に入れる

の37ページにあるように、子どもが生まれたらとにかく早く子どもを健康保険に入れる必要があります。
おそらく、健康保険に入っていない期間に病気等で病院にかかった場合、健康保険に入ってないと10割負担になるからということだと思います。

パパとママどちらの扶養に入れるべき？

収入が多い方の健康保険の扶養に入れるのが一般的。
（健康保険の保険料は被扶養者の数では変わらないので、給付が充実している方の被扶養者にするといいらしいです）